تابع های وارون مثلثاتی

درباره وبلاگ

به وبلاگ من خوش آمدید

منوي اصلي

آخرین مطالب

<-PostTitle->

آرشيو وبلاگ

پیوندهای روزانه

پيوندها

جی پی اس موتور
جی پی اس مخفی خودرو

تبادل لینک هوشمند
برای تبادل لینک ابتدا ما را با عنوان وبلاگ من و دوستم و آدرس atasepehr.LXB.ir لینک نمایید سپس مشخصات لینک خود را در زیر نوشته . در صورت وجود لینک ما در سایت شما لینکتان به طور خودکار در سایت ما قرار میگیرد.

نويسندگان

عطا صلحی


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)

خبرنامه وب سایت:

آمار وب سایت:

بازدید امروز : 5
بازدید دیروز : 0
بازدید هفته : 16
بازدید ماه : 14
بازدید کل : 44844
تعداد مطالب : 18
تعداد نظرات : 0
تعداد آنلاین : 1

خداحافظ ایگرگ

وبلاگ صلحی

تابع های وارون مثلثاتی

تابع‌های وارون مثلثاتی در ریاضیات، وارون تابع‌های مثلثاتی اند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آن‌ها زیرمجموعهٔ دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابع‌های مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به ).

برای نمونه اگر تعریف کنیم $y = operatorname{arcsin}(x)$ آنگاه $x = operatorname{sin}(y)$ است اما به ازای یک x یکتا می‌توان چندین y پیدا کرد که به ازای آن $x = operatorname{sin}(y)$ شود، مانند y مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin می‌تواند می‌تواند چندین جواب داشته باشد $operatorname{arcsin}(0)=0, pi, 2pi$ درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.

تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:

نام	نماد ریاضی	تعریف	بازهٔ x برای خروجی های حقیقی	برد تابع (رادیان)	برد تابع (درجه)
آرک سینوس	y = arcsin x	x = sin y	۱ ≥ x ≥ ۱−	$-frac{pi}{2} le y le frac{pi}{2}$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک کسینوس	y = arccos x	x = cos y	۱ ≥ x ≥ ۱−	$0 le y le pi$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک تانژانت	y = arctan x	x = tan y	تمامی اعداد حقیقی	$-frac{pi}{2} le y le frac{pi}{2}$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک کتانژانت	y = arccot x	x = cot y	تمامی اعداد حقیقی	$0 le y le pi$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک سکانت	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$0 le y le pi, y e ; frac{pi}{2}$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰°
آرک کسکانت	y = arccsc x	x = csc y	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$frac {-pi}{2} le y le frac {pi}{2}, y e ; 0$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰°

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

نمودار تابع های $operatorname{arcsin}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccos}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های $operatorname{arctan}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccot}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های $operatorname{arcsec}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccsc}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

زاویه‌های مکمل:

$arccos x = frac{pi}{2} - arcsin x$

$arccot x = frac{pi}{2} - arctan x$

$arccsc x = frac{pi}{2} - arcsec x$

ورودی‌های با علامت مخالف:

$arcsin (-x) = - arcsin x !$

$arccos (-x) = pi - arccos x !$

$arctan (-x) = - arctan x !$

$arccot (-x) = pi - arccot x !$

$arcsec (-x) = pi - arcsec x !$

$arccsc (-x) = - arccsc x !$

ورودی‌های وارون شده:

$arccos (1/x) ,= arcsec x ,$

$arcsin (1/x) ,= arccsc x ,$

$arctan (1/x) = frac{1}{2}pi - arctan x =arccot x, ext{ if }x > 0 ,$

$arctan (1/x) = - frac{1}{2}pi - arctan x = -pi + arccot x, ext{ if }x < 0 ,$

$arccot (1/x) = frac{1}{2}pi - arccot x =arctan x, ext{ if }x > 0 ,$

$arccot (1/x) = frac{3}{2}pi - arccot x = pi + arctan x, ext{ if }x < 0 ,$

$arcsec (1/x) = arccos x ,$

$arccsc (1/x) = arcsin x ,$

در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:

$arccos x = arcsin sqrt{1-x^2}, ext{ if }0 leq x leq 1$

$arctan x = arcsin frac{x}{sqrt{x^2+1}}$

هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).

با استفاده از رابطهٔ خواهیم داشت:

$arcsin x = 2 arctan frac{x}{1+sqrt{1-x^2}}$

$arccos x = 2 arctan frac{sqrt{1-x^2}}{1+x}, ext{ if }-1 < x leq +1$

$arctan x = 2 arctan frac{x}{1+sqrt{1+x^2}}$

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

$sin (arccos x) = cos(arcsin x) = sqrt{1-x^2}$

$sin (arctan x) = frac{x}{sqrt{1+x^2}}$

$cos (arctan x) = frac{1}{sqrt{1+x^2}}$

$an (arcsin x) = frac{x}{sqrt{1-x^2}}$

$an (arccos x) = frac{sqrt{1-x^2}}{x}$

راه حل کلی

تابع‌های مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز می‌گردد.

این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:

$sin(y) = x Leftrightarrow y = arcsin(x) + 2kpi ext{ or } y = pi - arcsin(x) + 2kpi$

$cos(y) = x Leftrightarrow y = arccos(x) + 2kpi ext{ or } y = 2pi - arccos(x) + 2kpi$

$an(y) = x Leftrightarrow y = arctan(x) + kpi$

$cot(y) = x Leftrightarrow y = arccot(x) + kpi$

$sec(y) = x Leftrightarrow y = arcsec(x) + 2kpi ext{ or } y = 2pi - arcsec (x) + 2kpi$

$csc(y) = x Leftrightarrow y = arccsc(x) + 2kpi ext{ or } y = pi - arccsc(x) + 2kpi$

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

نوشتار اصلی: ‎

مشتق ساده این نوع تابع‌ها، به ازای x‌های مختلط و حقیقی به قرار زیر است:

$egin{align} frac{d}{dx} arcsin x & {}= frac{1}{sqrt{1-x^2}} frac{d}{dx} arccos x & {}= frac{-1}{sqrt{1-x^2}} frac{d}{dx} arctan x & {}= frac{1}{1+x^2} frac{d}{dx} arccot x & {}= frac{-1}{1+x^2} frac{d}{dx} arcsec x & {}= frac{1}{x,sqrt{x^2-1}} frac{d}{dx} arccsc x & {}= frac{-1}{x,sqrt{x^2-1}} end{align}$

رابطه‌های زیر ویژهٔ x‌های حقیقی است:

$egin{align} frac{d}{dx} arcsec x & {}= frac{1}{|x|,sqrt{x^2-1}}; qquad |x| > 1 frac{d}{dx} arccsc x & {}= frac{-1}{|x|,sqrt{x^2-1}}; qquad |x| > 1 end{align}$

برای مشتق ساده اگر $heta = arcsin x !$ باشد، آنگاه داریم:

$frac{d arcsin x}{dx} = frac{d heta}{d sin heta} = frac{1} {cos heta} = frac{1} {sqrt{1-sin^2 heta}} = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

استفاده از انتگرال‌های معین

عبارت انتگرالی برابر با تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:

$egin{align} arcsin x &{}= int_0^x frac {1} {sqrt{1 - z^2}},dz,qquad |x| leq 1 arccos x &{}= int_x^1 frac {1} {sqrt{1 - z^2}},dz,qquad |x| leq 1 arctan x &{}= int_0^x frac 1 {z^2 + 1},dz, arccot x &{}= int_x^infty frac {1} {z^2 + 1},dz, arcsec x &{}= int_1^x frac 1 {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x geq 1 arcsec x &{}= pi + int_x^{-1} frac 1 {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x leq -1 arccsc x &{}= int_x^infty frac {1} {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x geq 1 arccsc x &{}= int_{-infty}^x frac {1} {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x leq -1 end{align}$

سری‌های نامتناهی

مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک سری‌های نامتناهی محاسبه کرد:

$egin{align} arcsin z & {}= z + left( frac {1} {2} ight) frac {z^3} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4} ight) frac {z^5} {5} + left( frac{1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 } ight) frac{z^7} {7} + cdots & {}= sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; qquad | z | le 1 end{align}$

$egin{align} arccos z & {}= frac {pi} {2} - arcsin z & {}= frac {pi} {2} - (z + left( frac {1} {2} ight) frac {z^3} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4} ight) frac {z^5} {5} + left( frac{1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 } ight) frac{z^7} {7} + cdots ) & {}= frac {pi} {2} - sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; qquad | z | le 1 end{align}$

$egin{align} arctan z & {}= z - frac {z^3} {3} +frac {z^5} {5} -frac {z^7} {7} +cdots & {}= sum_{n=0}^infty frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; qquad | z | le 1 qquad z eq i,-i end{align}$

$egin{align} arccot z & {}= frac {pi} {2} - arctan z & {}= frac {pi} {2} - ( z - frac {z^3} {3} +frac {z^5} {5} -frac {z^7} {7} +cdots ) & {}= frac {pi} {2} - sum_{n=0}^infty frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; qquad | z | le 1 qquad z eq i,-i end{align}$

$egin{align} arcsec z & {}= arccos {(1/z)} & {}= frac {pi} {2} - (z^{-1} + left( frac {1} {2} ight) frac {z^{-3}} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4} ight) frac {z^{-5}} {5} + left( frac{1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 } ight) frac{z^{-7}} {7} + cdots ) & {}= frac {pi} {2} - sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; qquad left| z ight| ge 1 end{align}$

$egin{align} arccsc z & {}= arcsin {(1/z)} & {}= z^{-1} + left( frac {1} {2} ight) frac {z^{-3}} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4 } ight) frac {z^{-5}} {5} + left( frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6} ight) frac {z^{-7}} {7} +cdots & {}= sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; qquad left| z ight| ge 1 end{align}$

همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:

$arctan z = frac{z}{1+z^2} sum_{n=0}^infty prod_{k=1}^n frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.$

هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است. همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که:

$arctan z = sum_{n=0}^infty frac{2^{,2n},(n!)^2}{left(2n+1 ight)!} ; frac{z^{,2n+1}}{left(1+z^2 ight)^{n+1}}$

انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی

برای تمامی x‌های حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است:

$egin{align} int arcsin x,dx &{}= x,arcsin x + sqrt{1-x^2} + C int arccos x,dx &{}= x,arccos x - sqrt{1-x^2} + C int arctan x,dx &{}= x,arctan x - frac{1}{2}lnleft(1+x^2 ight) + C int arccot x,dx &{}= x,arccot x + frac{1}{2}lnleft(1+x^2 ight) + C int arcsec x,dx &{}= x,arcsec x - lnleft(xleft(1+sqrt{{x^2-1}over x^2} ight) ight) + C int arccsc x,dx &{}= x,arccsc x + lnleft(xleft(1+sqrt{{x^2-1}over x^2} ight) ight) + C end{align}$

تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:

$egin{align} int arcsec x,dx &{}= x,arcsec x - lnleft(x+sqrt{x^2-1} ight) + C int arccsc x,dx &{}= x,arccsc x + lnleft(x+sqrt{x^2-1} ight) + C end{align}$

تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جژء قابل دستیابی است.

نمونه

با استفاده از $int u,mathrm{d}v = u v - int v,mathrm{d}u$ داریم:

$egin{align} u &{}=&arcsin x &quadquadmathrm{d}v = mathrm{d}x mathrm{d}u &{}=&frac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^2}}&quadquad{}v = x end{align}$

آنگاه:

$int arcsin(x),mathrm{d}x = x arcsin x - int frac{x}{sqrt{1-x^2}},mathrm{d}x$

با استفاده از :

$k = 1 - x^2.,$

پس:

$mathrm{d}k = -2x,mathrm{d}x$

$int frac{x}{sqrt{1-x^2}},mathrm{d}x = -frac{1}{2}int frac{mathrm{d}k}{sqrt{k}} = -sqrt{k}$

دوباره x را جایگزین می‌کنیم:

$int arcsin(x), mathrm{d}x = x arcsin x + sqrt{1-x^2}+C$